Maths – Informatique 4

CONTEXTE ET DESCRIPTION SOMMAIRE

Cette UV vise à faire le lien entre la modélisation d'un phénomène physique et sa résolution par un calcul numérique. Elle complète la formation antérieure (intégration numérique, FFT, éléments finis, etc.) par les différences finies et l'optimisation linéaire, ouvrant vers d'autres techniques d'optimisation (en structure ou en théorie des graphes) ou vers d'autres techniques de résolution numérique (intervalles, moments), voire en géostatistiques

OBJECTIFS

Une partie de cette UV est commune à toute la promotion et est constituée par la découverte et la mise en oeuvre de méthodes numériques pour la résolution de problèmes physiques. Elle concerne les schémas d'intégration d'équations différentielles, les méthodes de différences finies, et l'optimisation sous contraintes linéaires par l'algorithme du simplexe.

L'autre moitié de l'UV est spécifique aux divers profils, et concerne un approfondissement mathématique et informatique approprié : calcul par intervalles, méthode des moments, optimisation combinatoire et théorie des graphes, optimisation de forme et langage Fortran, géostatistiques, cryptage

PRE-REQUIS

UV pré-requises :
UV 1.1 : Maths - informatique 1
UV 1.6 : Mécanique générale des solides indéformables et mécanique des milieux continus
UV 2.1 : Maths - informatique 2
UV 2.6 : Mécanique des fluides et mécanique des solides déformables

1) Pour la partie commune :

UV 1.1 (maths et info), UV 2.1 (info) UV 3.1 (EDP)
Pour les parties spécifiques :
Calcul par intervalle : UV 1.4 (automatique)
Méthodes numériques pour l'électromagnétisme : UV 3.1 (EDP)
Géostatistiques : UV 2.1 (probastats), UV 2.7 (géodésie), UV 3.7 (systèmes de navigation)
Cryptage (et fractales ?) : pas de prérequis, mais de bons souvenirs en arithmétique sont utiles
Optimisation combinatoire et théorie des graphes : UV 1.1 et 2.1 (info)
Optimisation de forme et langage Fortran : UV 1.1 (info), UV 1.2 (mécanique générale), UV 2.2 (solides déformables), UV 3.5 (dimensionnement ?), UV 3.1 (éléments finis)

2) Notions requises :

Analyse (dans R et Rn) et d'algèbre (valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation, conditionnement), pour la partie commune. Des notions sur l'utilisation d'un logiciel de calcul matriciel (type scilab ou matlab) sont nécessaires.
Pour les parties spécifiques, se rapporter aux fiches d'UV citées.
Grandes notions :     Equations aux dérivées partielles, Calcul variationnel, Méthodes d’éléments finis, Modélisation mécanique/Langage Python.

CONTENU ET ORGANISATION PEDAGOGIQUE

Une partie de ce cours est commune à toute la promotion, elle concerne une moitié des horaires de l'UV. Elle se décompose en trois séquences, celle sur les différences finies étant la plus importante ; elle représente un quart des horaires totaux. La partie commune est organisée avec 30 à 40% de cours en amphi, les TD se passent en général sur machine. La plupart des cours spécifiques se passent majoritairement sur machine.

La simulation numérique des équations différentielles est abordée par les schémas d'intégration (Euler, RungeKutta, Merson, etc.), les techniques d'accélération de convergence, d'analyse d'erreur, et la notion de rayon de stabilité.

Les schémas numériques de différences finies sont appliqués à des classes très générales de'EDP (en particulier paraboliques, elliptiques et hyperboliques). Les DF semblent a priori très intuitives mais en réalité elles soulèvent le plus souvent de nombreuses difficultés. Les points précis abordés seront : Problème bien posé ou pas ?, théorème de Lax, ordre de consistance, étude de la stabilité, traitement des conditions de frontières.

La notion générale de problème d'optimisation est abordée par la programmation linéaire (simplexe, programmation linéaire en nombres entiers), en mettant en oeuvre une bibliothèque logicielle spécialisée. Cette séquence concerne également la modélisation d'un problème sous forme de problème d'optimisation linéaire et sa transformation afin de déterminer sa solution.

Pour le calcul par intervalles, les incertitudes de même que la connaissance du monde sont représentées par des ensembles, plutôt que par des densités de probabilité. L’objectif de ce cours est d’apprendre et manipuler le calcul ensembliste et de l’appliquer à des problèmes de robotique. Il se décompose en : arithmétique des intervalles, inversion ensembliste, contracteurs, implémentation en C++ et Quimper, applications en robotique.

Le cours de recherche opérationnelle, au delà de la programmation linéaire, aborde les classes de complexité des problèmes (P, NP, NPhard, etc.), la théorie des graphes (plus court chemin, arbres couvrants, flots maximaux, coloration), et sa mise en oeuvre sur machine, en utilisant le langage Java.

Le cours de cryptage concerne la sécurité des communications. Il s'appuie sur la théorie des corps de Galois pour expliquer les techniques modernes de cryptage (DES, RSA, etc.) et les techniques d'attaque de ces codes. Ces techniques sont mises en oeuvre en intégrant des bibliothèques de cryptage à un système existant.

Le cours de géostatistiques aborde trois problèmes ou techniques, donnant un large panel de méthodes d'optimisation de fonctions nonlinéaires : interpolation statistique optimale par Krigeage (optimisation non linéaire avec contraintes d'égalités) ; routage maritime (optimisation d'un critère portant sur l'état d'un système évoluant dans le temps) ; moindres carrés statiques et récursifs pour l'identification de processus dynamiques. Chaque thème de cours est illustré par un bureau d'étude où des données réelles sont utilisées.

L'objectif de l'optimisation en calcul de structure est, partant de l'utilisation d'une pièce qui définit un ensemble de contraintes, de déterminer ses paramètres : profil d'une poutre, forme ou structure topologique d'une pièce. Le cours s'appuie sur des méthodes de calcul par élément finis supervisés, utilisées dans des boucles d'optimisation. Il présente également des techniques d'optimisation génétique et d'optimisation topologique. Les étudiants bénéficient également d'une initiation à fortran, très utilisé dans les codes de calcul.

Le cours de méthodes numériques pour l'électromagnétisme permet aux étudiants de comprendre les modélisations de ces problèmes en contexte industriel. Les domaines d'applications regroupent la compatibilité EM, l'électronique, la télédétection, etc. Les approches étudiées seront : méthode des moments, approches variationnelles et éléments finis appliqués à l'EM, approches asymptotiques, etc.

MODES ET CRITERES D’EVALUATION

Une note est donnée pour chacune des parties : EDP, modélisation mécanique par les éléments finis et Python. Pour le calcul de la note globale de l’UV, la pondération correspondante est respectivement de 2, 1 et 1.

CONTRIBUTION DE L’UV A L’ACQUISITION DE COMPETENCES TRANSVERSALES

Acculturation à des contextes industriels
La partie modélisation mécanique par les éléments finis permet déjà aux étudiants de percevoir la nature du métier d’ingénieur modélisation en contexte industriel.

Culture scientifique et technique
Les modèles mathématiques et les méthodes de résolution numérique présentées peuvent s’appliquer à n’importe quel domaine dés lors qu’une modélisation physique intervient. De même, Python est  un langage informatique extrêmement répandu et capable de répondre à la grande majorité des problématiques d’ingénierie

Study materials           

Un polycopié de mathématiques pour l'ingénieur couvrant l'ensemble de la partie commune,
ainsi que des documents adaptés au diverses parties spécifiques.